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• Chapter 1: \(\infty\)-圏の言語
  • Section 1.1: Simplicial Sets
  • Section 1.2: From Topological Spaces to Simplicial Sets
  • Section 1.3: From Categories to Simplicial Sets
  • Section 1.4: \(\infty\)-Categories
  • Section 1.5: Functors of \(\infty\)-Categories

代数トポロジーの基本的な問いの自然な延長として以下のようなものがある．

位相空間 \(X\) の高次のホモトピー群の情報をすべて含むような圏論的不変量を得られないか．0001

• 単体的集合を導入する．
• Kan 複体
  • Kan 拡張条件
• 位相空間 \(X\) から特異単体的集合 \(\operatorname{Sing}_{\bullet}(X)\) を得る．
  • ここから \(X\) のホモトピー群の情報を復元できる．
  • この操作はCW 複体のホモトピー論とKan 複体のホモトピー論との同値を誘導する．

\(\operatorname{Sing}_{\bullet}(X)\) はどのくらい圏に似ているのか．基本亜群との関係は何か．

• 圏の nerve
• \(\infty\)-圏
  • 弱 Kan 拡張条件